Коэфициент корреляции со знаком минус

Коэффициент корреляции, коэффициент Пирсона - bizbookmarks.info

Величина рангового коэффициента корреляции определяется по формуле ( 1) Знак минус перед коэффициентами корреляции означает, что связь. Иначе говоря, при наличии знака минус, увеличению одной переменной В общем виде формула для подсчета коэффициента корреляции такова. Коэффициент корреляции был предложен как инструмент, с помощью При этом знак в правой части последнего равенства совпадает со знаком a. 4. линейной зависимости переменных и минус единицу в случае обратной.

Безграничное возрастание объема выборки выборочного коэффициента корреляции Более того, выборочный коэффициент корреляции является асимптотически нормальным. Это означает, что Асимптотически нормальный выборочный коэффициент корреляции Переменные выборочного коэффициента корреляции Она имеет довольно сложное выражение: Асимптотическая дисперсия выборочного коэффициента корреляции где теоретические центральные моменты порядка k и m: Теоретические центральные моменты порядка k и m Коэффициенты корреляции типа rn используются во многих алгоритмах многомерного статистического анализа.

В теоретических рассмотрениях часто считают, что случайные вектора имеют двумерное нормальное распределение. Распределения реальных данных, как правило, отличны от нормальных. Почему же распространено представление о двумерном нормальном распределении? Дело в том, что теория в этом случае проще. В частности, равенство 0 теоретического коэффициента корреляции эквивалентно независимости случайных величин.

Поэтому проверка независимости сводится к проверке статистической гипотезы о равенстве 0 теоретического коэффициента корреляции.

Эта гипотеза принимается, если Статистическая гипотиза Если предположение о двумерной нормальности не выполнено, то из равенства 0 теоретического коэффициента корреляции не вытекает независимость случайных величин. Нетрудно построить пример случайного вектора, для которого коэффициент корреляции равен 0, но координаты зависимы. Кроме того, для проверки гипотез о коэффициенте корреляции нельзя пользоваться таблицами, рассчитанными в предположении нормальности.

Можно построить правила принятия решений на основе асимптотической нормальности выборочного коэффициента корреляции. Но есть и другой путь - перейти к непараметрическим коэффициентам корреляции, одинаково пригодным при любом непрерывном распределении случайного вектора.

Видео 6 Для расчета непараметрического коэффициента ранговой корреляции Спирмена необходимо сделать следующее. Он называется коэффициентом ранговой корреляции, поскольку определяется через ранги.

В качестве примера рассмотрим данные из таблицы: Данные для расчета коэффициентов корреляции Для данных таблицы коэффициент линейной корреляции равен 0,83, непосредственной линейной связи. А вот коэффициент ранговой корреляции равен 1, поскольку увеличение одной переменной однозначно соответствует увеличению другой переменной.

Во многих экономических задачах, например, при выборе инвестиционных проектовдостаточно именно монотонной зависимости одной переменной от.

Корреляция — Википедия

Поскольку суммы рангов и их квадратов нетрудно подсчитать, то коэффициент ранговой корреляции Спирмена равен Коэффициент ранговой корреляции Спирмена Отметим, что коэффициент ранговой корреляции Спирмена остается постоянным при любом строго возрастающем преобразовании шкалы измерения результатов наблюдений.

Другими словами, он является адекватным в порядковой шкале, как и другие ранговые статистики, например, статистики Вилкоксона, Смирнова, типа омега-квадрат для проверки однородности независимых выборок. Широко используется также коэффициент ранговой корреляции Кендалла, коэффициент ранговой конкордации Кендалла и Б. Наиболее подробное обсуждение этой тематики содержится в монографии, необходимые для практических расчетов таблицы имеются в справочнике. Дискуссия о выборе вида коэффициентов корреляции продолжается до настоящего времени.

Определение статистической связи по коэффициенту корреляции Формула и переменные коэффициента корреляции Коэффициент корреляции показывает степень статистической зависимости между двумя числовыми переменными. Он вычисляется следующим образом: Статистическая зависимость между двумя числовыми переменными где n - количество наблюдений, x - входная переменная, y - выходная переменная. Значения коэффициента корреляции всегда расположены в диапазоне от -1 до 1 и интерпретируются следующим образом: Иными словами, отмечается высокая степень связи входной и выходной переменных.

В данном случае, если значения входной переменной x будут возрастать, то и выходная переменная также будет увеличиваться; Пример положительной корреляции - если коэффициент корреляции близок к -1, это означает, что между переменными наблюдается отрицательная корреляция. Иными словами, поведение выходной переменной будет противоположным поведению входной.

Если значение x будет возрастать, то y будет уменьшаться, и наоборот; Пример отрицательной корреляции - промежуточные значения, близкие к 0, будут указывать на слабую корреляцию между переменными и, соответственно, низкую зависимость. Иными словами, поведение входной переменной x не будет совсем или почти совсем влиять на поведение y. Пример слабой корреляции Коэффициент корреляции равен квадратному корню коэффициента детерминации, поэтому может применяться для оценки значимости регрессионных моделей.

Однако, чем выше корреляция наблюдается между переменными, тем очевиднее связь между ними, например, взаимозависимость между ростом и весом людей, однако данное соотношение настолько очевидно, что не представляет интереса.

Пусть X,Y - две случайные величины, определённые на одном вероятностном пространстве. Тогда их коэффициент корреляции задаётся формулой: Формула коэффициента корреляции двух случайных величин где cov обозначает ковариацию, а D - дисперсию, или, что то же самое, Развернутая формула коэффициента корреляции двух случайных величин где символ Е обозначает мат.

Ковариация корреляционный момент, ковариационный момент в теории вероятностей и математической статистике мера линейной зависимости двух случайных величин.

Пусть X, Y - две случайные величины, определённые на одном и том же вероятностном пространстве. Тогда их ковариация определяется следующим образом: Ковариация величин X и Y Предполагается, что все математические ожидания Е в правой части данного выражения определены.

Замечания к определению ковариации Пусть X1, X2, Тогда ковариацией между выборками Xn и Yn является: Ковариация выборок Свойства ковариации: Свойства ковариации Если ковариация положительна, то с ростом значений одной случайной величины, значения второй имеют тенденцию возрастать, а если знак отрицательный - то убывать. Однако только по абсолютному значению ковариации нельзя судить о том, насколько сильно величины взаимосвязаны, так как её масштаб зависит от их дисперсий.

Масштаб можно отнормировать, поделив значение ковариации на произведение среднеквадратических отклонений квадратных корней из дисперсий. При этом получается так называемый коэффициент корреляции Пирсона, который всегда находится в интервале от -1 до 1. Среднеквадратическое отклонение ковариации Случайные величины, имеющие нулевую ковариацию, называются некоррелированными.

Независимые случайные величины всегда некоррелированы, но не наоборот. Обсудим достоинства и недостатки ковариации, как величины, характеризующей зависимость двух случайных величин. Если ковариация отлична от нуля, то случайные величины зависимы. Чтобы судить о наличии зависимости согласно любому из определений независимости, требуется знать совместное распределение пары случайных величин.

Но найти совместное распределение часто бывает сложнее, чем посчитать математическое ожидание произведения случайных величин. Если нам повезёт, и мат. Пример ковариации случайных величин при недостаточных данных 2. Иначе говоря, при умножении этих величин на какое-нибудь число ковариация тоже умножается на это число.

Самая сильная зависимость - функциональная, а из функциональных - линейная зависимость, когда: Функциональная линейная зависимость Бывают гораздо более слабые зависимости. Так, если по последовательности независимых случайных величин построить величины: Сильно ли зависимы число гербов в первых двадцати пяти подбрасываниях монеты и число гербов в испытаниях с двадцать пятого по девяностое?

Итак, следующая величина есть всего лишь ковариация, нормированная нужным образом. Теорема неравенство Коши - Буняковского: Доказательство теоремы Коши - Буняковского Ковариационная матрица или матрица ковариаций в теории вероятностей - это матрица, составленная из попарных ковариаций элементов одного или двух случайных векторов. Ковариационная матрица случайного вектора - квадратная симметрическая матрица, на диагонали которой располагаются дисперсии компонент вектора, а внедиагональные элементы - ковариациями между компонентами.

Определение ковариационной матрицы Такая матрица ковариации является обобщением дисперсии для многомерной случайной величины, а ее след - скалярным выражением дисперсии многомерной случайной величины. Собственные векторы и собственные числа этой матрицы позволяют оценить размеры и форму облака распределения такой случайной величины, аппроксимировав его эллипсоидом или эллипсом в двумерном случае.

Свойства матрицы ковариации 2. Рассмотрим случайную величину с числовыми значениями. Математическое ожидание случайной величины то есть мат. Вычислим мат ожидание числа, выпавшего на верхней грани игрального кубика. Непосредственно из определения 1 следует, что Мат. Пусть случайная величина Х принимает значения х1, х2,…, хm. Равенство математического ожидания числа то есть математическое ожидание случайной величины - это взвешенная сумма значений случайной величины с весами, равными вероятностям того, что случайная величина принимает определенные значения.

В отличие от 4где суммирование проводится непосредственно по элементарным событиям, случайное событие Случайное событие может состоять из нескольких элементарных событий.

Коэффициент корреляции (Correlation coefficient) - это

Иногда соотношение принимают как определение мат ожидания. Однако с помощью определения, как показано далее, более легко установить свойства мат ожидания, нужные для построения вероятностных моделей реальных явлений, чем с помощью соотношения. Для доказательства соотношения сгруппируем в члены с одинаковыми значениями случайной величины: Группировка членов с одинаковой величиной Поскольку постоянный множитель можно вынести за знак суммы, то Равенство, если вынести общий множитель за скобки По определению вероятности события: С помощью двух последних соотношений получаем требуемое: Тогда равенство показывает, что центр тяжести этой системы материальных точек совпадает с математическим ожиданием, что показывает естественность определения.

Пусть Х - случайная величина, М Х - ее мат ожидание, а - некоторое число. Математическое ожидание из утверждения 3 Для доказательства рассмотрим сначала случайную величину, являющуюся постоянной, то есть функция отображает пространство элементарных событий в единственную точку. Поскольку постоянный множитель можно выносить за знак суммы, то Если вынести постоянный множитель за скобки в утверждении 3 Если каждый член суммы разбивается на два слагаемых, то и вся сумма разбивается на две суммы, из которых первая составлена из первых слагаемых, а вторая - из вторых.

Мат ожидание суммы двух случайных величин Поскольку Просчет равенства для двух случайных величин Упростим последнее равенство. Как показано в начале доказательства утверждения 3, мат ожидание константы - сама эта константа. Поскольку постоянный множитель можно выносить за знак суммы и правая часть последнего равенства равна 0: Доказательство утверждения 3 Из сказанного вытекает Значения, которые может принимать математическое ожидание поскольку второе слагаемое в равенстве 3 всегда неотрицательно и равно 0 только при указанном значении.

  • Корреляционный анализ
  • Коэффициент корреляции Пирсона
  • Коэффициент корреляции, коэффициент Пирсона

Пусть случайная величина Х принимает значения х1, х2,…, хm, а f - некоторая функция числового аргумента. Тогда Условия утверждения 4 Для доказательства сгруппируем в правой части равенства, определяющего математическое ожидание, члены с одинаковыми значениями: Группировка в правой части членов с одинаковыми значениями Пользуясь тем, что постоянный множитель можно выносить за знак суммы, и определением вероятности случайного события, получаем: Вынесение постоянного множителя за скобки что и требовалось доказать.

Пусть Х и У - случайные величины, определенные на одном и том же пространстве элементарных событий, а и b - некоторые числа. Тогда Условия утверждения 5 С помощью определения мат ожидания и свойств символа суммирования получаем цепочку равенств: Цепочка равенст из утверждения 5 Требуемое доказано. Выше показано, как зависит мат ожидание от перехода к другому началу отсчета и к другой единице измерения, а также к функциям от случайных величин. Полученные результаты постоянно используются в технико-экономическом анализе, при оценке финансово-хозяйственной деятельности предприятияпри переходе от одной валюты к другой во внешнеэкономических расчетахв нормативно-технической документации и др.

Рассматриваемые результаты позволяют применять одни и те же расчетные формулы при различных параметрах масштаба и сдвига. Математическое ожидание показывает, вокруг какой точки группируются значения случайной величины. Необходимо также уметь измерить изменчивость случайной величины относительно мат.

Дисперсией случайной величины Х называется число Дисперсия случайной величины Установим ряд свойств дисперсии случайной величины, постоянно используемых в вероятностно-статистических методах принятия решений. Пусть Х - случайная величина, а и b - некоторые числа, Первое свойство дисперсии случайной величины Доказательство первого свойства дисперсии Поскольку постоянный множитель можно выносить за знак суммы, то Вынесение постоянного множителя за знак суммы в доказательстве первого свойства дисперсии Утверждение 8 показывает, в частности, как меняется дисперсия результата наблюдений при изменении начала отсчета и единицы измерения.

Оно дает правило преобразования расчетных формул при переходе к другим значениям параметров сдвига и масштаба. Для доказательства воспользуемся тождеством: Дисперсия сумм случайных величин равна сумме дисперсий которое вытекает из известной формулы элементарной алгебры: Формула элементарной алгебры Из утверждений 3 и 5 и определения дисперсии следует, что: Из утверждения 7 следует, что: Из независимости переменных следует равенство Из утверждения 3 правая часть последнего равенства равна 0, откуда с учетом двух предыдущих равенств и следует заключение утверждения 9.

Пусть X1, X2,…, Xk - попарно независимые случайные величины. Пусть Yk - их сумма, тогда мат ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, дисперсия суммы равна сумме дисперсий слагаемых: Мат ожидание и дисперсия суммы слагаемых равна сумме математических ожиданий и дисперсий Соотношения, сформулированные в утверждении 10, являются основными при изучении выборочных характеристик, поскольку результаты наблюдений или измерений, включенные в выборку, обычно рассматриваются в математической статистике, теории принятия решений и эконометрике как реализации независимых случайных величин.

Для любого набора числовых случайных величин не только независимых математическое ожидание их суммы равно сумме их математических ожиданий. Это утверждение является обобщением утверждения 5. Строгое доказательство легко проводится методом математической индукции.

При выводе формулы для дисперсии D Yk воспользуемся следующим свойством символа суммирования: Вывод формулы для дисперсии Воспользуемся теперь тем, что мат ожидание суммы равно сумме математических ожиданий: Полученные в утверждениях фундаментальные свойства таких характеристик случайных величин, как мат ожидание и дисперсия, постоянно используются практически во всех вероятностно-статистических моделях реальных явлений и процессов.

Рассмотрим событие А и случайную величину Х такую, что Исходные условия примера по дисперсии Воспользуемся формулой для мат. Случайная величина Х принимает два значения - 0 и 1, значение 1 с вероятностью Р А и значение 0 с вероятностью 1 - Р Аа потому: Решение примера по дисперсии Вынося общий множитель, получаем, что: Вынесение общего знаменателя в решении примера по дисперсии Пример Рассмотрим k независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А может наступить, а может и не наступить.

Введем случайные величины X1, X2,…, Xk следующим образом: Введение случайных величин в условие примера Тогда случайные величины X1, X2,…, Xk попарно независимы. Целями исследования зависимости между признаками являются доказательство наличия связи между признаками и изучение этой связи.

Для доказательства наличия связи между двумя случайными величинами Х и У применяют корреляционный анализ. Если совместное распределение Х и У является нормальным, то статистические выводы основывают на выборочном коэффициенте линейной корреляции, в остальных случаях используют коэффициенты ранговой корреляции Кендалла и Спирмена, а для качественных признаков - критерий хи-квадрат.

Видео 9 Свойства коэффициента корреляции Коэффициент корреляции р для генеральной совокупности, как правило, неизвестен, поэтому он оценивается по экспериментальным данным, представляющим собой выборку объема n пар значений Xi, Yiполученную при совместномизмерении двух признаков Х и Y. Коэффициент корреляции, определяемый по выборочным данным, называется выборочным коэффициентом корреляции или просто коэффициентом корреляции.

Его принято обозначать символом r. Видео 10 Коэффициенты корреляции - удобный показатель связи, получивший широкое применение в практике. К их основным свойствам необходимо отнести следующие: Коэффициенты корреляции способны характеризовать только линейные связи, то есть такие, которые выражаются уравнением линейной функции.

При наличии нелинейной зависимости между варьирующими признаками следует использовать другие показатели связи. Теорема свойства коэффициента корреляции Доказательство теоремы о свойствах коэффициента корреляции Продолжение доказательства теоремы о свойствах коэффициента корреляции 2.

При независимом варьировании признаков, когда связь между ними отсутствует. Стандартизация случайной величины 5. При отрицательной, или обратной, связи, когда с увеличением значений одного признака соответственно уменьшаются значения другого, коэффициент корреляции сопровождается отрицательным - знаком и находится в пределах от 0 до Чем сильнее связь между признаками, тем ближе величина коэффициента корреляции к 1.

Только по величине коэффициентов корреляции нельзя судить о достоверности корреляционной связи между признаками. Этот параметр зависит от числа степеней свободы. Сразу заметим, что коэффициент корреляции оказался не идеальным инструментом, он пригоден лишь для измерения силы линейной зависимости, но подробности будут изложены чуть ниже.

Корреляция

Если распределение переменных нормальное или несущественно отличается от нормального, применяют коэффициент корреляции Пирсона.

Для порядковых ранговых переменных или переменных, чье распределение существенно отличается от нормального, используется коэффициент корреляции Спирмана или Кендалла. Имейте в виду, существуют и другие коэффициенты. Заметим, что формула 1 задает эмпирическую версию коэффициента, которая является оценкой теоретического значения. Начнем с того, что напомним математические свойства коэффициента корреляции, который где x и y — изучаемые переменные.

Если x и y независимые переменные. Если x и y связаны линейной зависимостью, то есть найдутся a и b такие, что. При этом знак в правой части последнего равенства совпадает со знаком a. Еслито x и y связаны линейной зависимостью, то есть найдутся a и b такие. Неверно, что еслито переменные x и y независимы. Важным исключением является случай, когда переменные x и y имеют нормальное распределение.